Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

Begrepet tar sitt navn fra forfatterene Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes premiert med Nobelprisen i økonomi for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Innhold

rediger Black-Scholes som en stokastisk prosess

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

dSt = αStdt + σStdWt,

under antagelsene at både driften α og volatiliteten σ er konstante. Videre er "støyen" Wt en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

  • Short-salg er tillatt.
  • Det er ingen transaksjonskostnader.
  • Markededet er arbitrasje-fritt.
  • Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
  • Handel foregÃ¥r kontinuerlig.
  • Man kan handle fraksjoner av en aksje.
  • Man kan lÃ¥ne penger i banken til en gitt risiko-fri rate.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen S0. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [1].

rediger Black-Scholes som en partiell differensialligning

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker.

rediger Arbitrasje-fri utledning

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

u_t + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 u_{xx} + r x u_x - xu=0

med sluttbetingelsen

u(x,T) = max(S − K,0).

rediger Utledning med delta-hedging

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

dSt = αStdt + σStdWt,

og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at

V:=V(S,t)=\left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} d W_t

ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og n aksjer, og får da følgende:

Π = V + nS.

Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall dt vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

dΠ = dV + ndS.

Setter vi nå inn for dV og dS gitt over finner vi at

d\Pi = \sigma S \left( \frac{\partial V}{\partial S} - n \right) d W_t + \left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \frac{\partial V}{\partial t} - \alpha n S \right) dt.

Siden vi ønsker at all usikkkerhet skal bort - vi vil hedge - velger vi n=\frac{\partial V}{\partial S} i starten av tidsintervallet dt. Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

d \Pi = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være rΠdt, og vi finner at

r \Pi dt = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.

Setter vi nå inn for Π og n finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} -rV=0.