En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como \sum_{i=1}^N a_i donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i = 1,2,3,\ldots.

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si \lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i no existe o si tiende a infinito; converge si \lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L para algún L \in \mathbb{R}.

Contenido

editar Algunos tipos de series

  • Una Serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante. Ejemplo (con constante 1/2):
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{j=0}^{\infty}{1 \over 2^{j}}.
En general, para las series geométricas
\sum_{n=1}^{\infty} z^n = {z \over 1 - z}
sólo si |z| < 1.
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
La serie armónica es divergente.
  • Una Serie alternada (O Serie telescópica) es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.

editar Sumas conocidas

Artículo principal: Fórmula de Faulhaber
\sum_{i=1}^{r} i={r(r+1)\over 2}.
\sum_{i=1}^{r} i^2={r(r+1)(2r+1)\over 6}.
\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{i} j=\sum_{i=1}^{r}{i(i+1)\over 2}= {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i^2 + i={1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i^2 + {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i.


editar Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge (\pm \infty u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

editar Condición del resto

Si una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k es convergente, entonces \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0.

El recíproco no es cierto. El contra recíproco es:

Si \lim_{k \rightarrow \infty} a_k\neq 0 entonces \sum_{k=1}^{\infty} a_k es divergente.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Demostración:

Por Hipótesis:

Sk = a1 + a2 + ... + ak
\lim_{k \rightarrow \infty} S_k = S para todo s ε ℝ

Sabemos que Sk − 1 = a1 + a2 + ... + ak − 1 y que \lim_{k \rightarrow \infty} S_{k-1} = S para todo s ε ℝ

Por lo tanto teniendo en cuenta que Sk − Sk − 1 = ak entonces \lim_{k \rightarrow \infty} (S_k-S_{k-1}) =S-S= \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0

Queda demostrada la proposición.

editar Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente

Artículo principal: Criterio de d'Alembert

Sea una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=l

con l \, \in \, [0, +\infty), el Criterio de D'Alembert establece que:

  • si l < 1, la serie converge.
  • si l > 1, entonces la serie diverge.
  • si l = 1, no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

editar Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=l, siendo l \, \in \, [0, +\infty)

Entonces, si:

  • l < 1, la serie es convergente.
  • l > 1 entonces la serie es divergente.
  • l=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

editar Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

k puede valer 0.

Sea una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )=l, siendo l \, \in \, (-\infty , +\infty )

Por tanto, si l > 1, entonces la serie es convergente y si l < 1, la serie es divergente

Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

editar Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces \sum{a_n} converge si y sólo si \int_1^\infty f(x)\,dx es finita.

editar Criterio de Leibniz

Una serie de la forma \sum_{n=1}^\infty (-1)^n{a_n} (con a_n\ge0) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) \lim_{k \rightarrow \infty} (-1)^na_k= 0 para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: |{a_k}|\ge|a_{k+1}|

Si esto se cumple la serie \sum_{n=1}^\infty {a_n} es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de \sum_{n=1}^\infty |{a_n}| antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

editar Serie geométrica

Dada la serie \sum_{n=1}^\infty {a_n}r^n puede afirmarse que:

  • Si |r|<1 la Serie Converge.
  • Si |r|>=1 la Serie Diverge.

editar Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra seríe \sum(b_n) tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la seríe geométrica. Entonces:

editar Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si 0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0

  • Si \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge
  • Si \sum(a_n) diverge \Rightarrow \sum(b_n) diverge

editar Criterio de comparación por paso al límite del cociente

\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=l

Entonces:

  • Si l = 0 y \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge
  • Si l=\infty y \sum(b_n) diverge \Rightarrow \sum(a_n) diverge
  • En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

editar Tipos de convergencia

editar Convergencia absoluta

Artículo principal: convergencia absoluta

Una serie alternada an converge absolutamente si

\sum_{i=1}^\infty \left| {a_n}\right|

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Las series se utilizan en el análisis complejo y el análisis funcional, donde es relevante si una serie converge. Aquí faltan otras.

editar Cómo saber si una serie converge de forma óptima

editar Véase también

editar Enlaces externos