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La mecánica analítica es una formulación abstracta y general de la mecánica,¹ que permite el uso en igualdad de condiciones de sistemas inerciales o no inerciales sin que, a diferencia de las leyes de Newton, la forma básica de las ecuaciones de movimiento cambien. Algunos autores identifican la mecánica analítica con la teórica.² Otros consideran que el rasgo determinante es considerar la exposición y planteamiento de la misma en términos de coordenadas generalizadas.

Lo característico de la formulación de la mecánica analítica es que como fundamento primero (a diferencia de la mecánica newtoniana) se toman principios generales (diferenciales e integrales), y que a partir de estos principios se obtengan analíticamente las ecuaciones de movimiento. La exposición de los principios generales, la deducción a partir de ellos de las ecuaciones diferenciales de movimiento y los métodos de integración de éstas, constituye el contenido principal de la mecánica analítica.

La mecánica analítica tiene, básicamente dos formulaciones: la formulación lagrangiana y la formulación hamiltoniana. Las dos describen el mismo fenómeno natural, independientemente de aspecto formales y metodológicos, y llegan a las mismas conclusiones. La formulación lagrangiana está más orientada a una utilidad práctica y la hamiltoniana es idónea para una formulación teórica.

Contenido 1 Introducción 2 Tipos de formulaciones 3 Formulaciones analíticas 3.1 Mecánica Lagrangiana 3.2 Mecánica Hamiltoniana 4 Referencias

editar Introducción

La mecánica analítica sigue los tres supuestos básicos de la mecánica clásica, es decir:

1. el Principio de Hamilton o principio de mínima acción. Podemos tomarlo como principio fundamental de toda la dinámica de los sistemas holónomos.
2. la existencia de un tiempo absoluto, cuya medida es igual para cualquier observador con independencia de su grado de movimiento.
3. el estado de una partícula queda completamente determinado si se conoce su cantidad de movimiento y posición siendo estas simultáneamente medibles.

Es interesante notar que en mecánica relativista el supuesto (2) es inaceptable aunque sí son aceptables los supuestos (1) y (3). Por otro lado, en mecánica cuántica el que no es aceptable es el supuesto (3) (de hecho en la mecánica cuántica relativista ni el supuesto (2) ni el (3) son aceptables).

Aunque la mecánica clásica y en particular la mecánica newtoniana es adecuada para describir la experiencia diaria (con eventos que suceden a velocidades muchísimo menores que la velocidad de la luz y a escala macroscópica), debido a la aceptación de estos tres supuestos tan restrictivos como (1), (2) y (3), no puede describir adecuadamente fenómenos electromagnéticos con partículas en rápido movimiento, ni fenómenos físicos microscópicos que suceden a escala atómica.

editar Tipos de formulaciones

La mayoría de manuales generales sobre mecánica analítica pueden agruparse en dos tipos de enfoques:

• Enfoque analítico que en cierto modo es heredero de la Mecánique analitique de J. L. Lagrange de 1788 y la igualmente elegante formulación de Hamilton de 1833. Estas dos formulaciones en última instancia se basan en el principio diferencial introducido por D'Alembert en 1743. En este enfoque se presentan en detalle aplicaciones astronómicas y las leyes básicas de la física. En este enfoque la fuerza casi siempre es una fuerza conservativa y muchas veces también central. Por esa última razón los principios conservativos están generalmente muy enfatizados en este enfoque.³
• Enfoque general de los sistemas dinámicos general es el enfoque más reciente surgido de los trabajos de Poincaré y Lyapunov en la última década del siglo XIX y del libro Dynamical Systems del norteamericano G. D. Birhoff de 1927. En los manuales más sencillos este enfoque está poco representado, aunque es muy común en los trabajos de investigación. Este enfoque está actualmente muy relacionado con la teoría del caos y propiedades complejas de los sistemas mecánicos más complicados.⁴

editar Formulaciones analíticas

Como se ha mencionado existen dos subformulaciones diferentes del enfoque analítico la mecánica lagrangiana y la mecáncia hamiltoniana.

editar Mecánica Lagrangiana

La mecánica lagrangiana tiene la ventaja de ser suficientemente general como para que las ecuaciones de movimiento sean invariantes respecto a cualquier cambio de coordenadas. Eso permite trabajar con sistema de referencia inerciales o no-inerciales en pie de igualdad.

Para un sistema de n grados de libertad, la mecánica lagrangiana proporciona un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden llamadas ecuaciones del movimiento que permiten conocer como evolucionará el sistema. Aunque en general la integración de ese sistema de ecuaciones no es sencilla, resulta de gran ayuda reducir el número de coordenadas del problema buscando magnitudes conservadas, es decir, magnitudes físicas asociadas al sistema, que no varían a lo largo del tiempo. Las magnitudes conservadas también se suelen llamar integrales del movimiento y suelen estar asociadas a leyes de conservación comunes.

En su forma más avanzada se formula sobre el fibrado tangente de una variedad diferenciable y en su forma más sencilla se formula usando coordenadas de un conjunto abierto de igual dimensión igual al número de grados de libertad.

editar Mecánica Hamiltoniana

La mecánica hamiltoniana se suele formular sobre supuestos variacionales de un modo similar a los usados para la mecánica lagrangiana. Sin embargo, el enfoque hamiltoniano permite transformaciones de coordenadas más generales lo cual le da mayor flexibilidad para resolver las ecuaciones del movimiento. Otra ventaja es que las ecuaciones de evolución temporal en el enfoque hamiltoniano son ecuaciones diferenciales de primer orden, lo cual permite integrar más fácilmente las ecuaciones de movimiento. De todos los enfoques de la mecánica clásica, el enfoque hamiltoniano es el más cercano al enfoque general de la teoría de sistemas dinámicos. No es extraño por tanto que partes importantes de teoría del caos aparecieran por primera vez dentro del enfoque hamiltoniano.

editar Referencias

• Fernádez Rañada, Antonio (2005). en Fondo de Cultura Económica: Dinámica Clásica, 1ª, p. 545-600. ISBN 84-206-8133-4.